Intégrale définie
Fonctions : sin, cos, tan, exp, log, sqrt, abs, ^ (puissance), pi, e.
Dérivée & tableau de variation
Dérivée numérique, extrema et sens de variation sur [a, b].
Bleu : f(x) · Violet : f ′(x) · points = extrema locaux.
Calcul vectoriel (3D)
Résultats
Balistique (tir d'un projectile)
Trajectoire parabolique (portée / hauteur max).
PGCD · PPCM · Bézout
Algorithme d'Euclide étendu : au + bv = pgcd(a, b).
Étapes de l'algorithme d'Euclide
Binôme de Newton (a + b)ⁿ
Développement & coefficients
Équation du second degré
Résout a·x² + b·x + c = 0 : discriminant, racines, sommet, factorisation.
Parabole · sommet (jaune) · racines réelles (rouge) sur l'axe des x.
Statistiques descriptives
Histogramme de répartition · ligne = moyenne.
Nombres complexes
Module, argument, conjugué & forme exponentielle r·e^(iθ).
Plan complexe (Argand) · z₁ bleu · z₂ violet · résultat jaune.
Loi binomiale B(n, p)
Distribution P(X=j) · barre jaune = k choisi.
∫ Intégrale définie
L'intégrale de f sur [a, b] mesure l'aire algébrique entre la courbe et l'axe des abscisses (l'aire sous l'axe compte négativement).
Théorème fondamental de l'analyse
Si F est une primitive de f (F ′ = f), alors :
\[\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\]Méthode des trapèzes (utilisée ici)
On approche l'aire par des trapèzes sur n subdivisions de pas h = (b−a)/n :
\[\int_a^b f \approx h\left[\dfrac{f(a)}{2} + f(a{+}h) + \cdots + f(b{-}h) + \dfrac{f(b)}{2}\right]\]Simpson (paraboles) converge plus vite : erreur en h⁴ contre h² pour les trapèzes.
f ′ Dérivée & variations
La dérivée est le taux de variation instantané, pente de la tangente :
\[f'(x) = \lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}\]Dérivées usuelles
\[\begin{gathered}(x^n)' = n\,x^{n-1} \quad (e^x)' = e^x \quad (\ln x)' = \tfrac1x \\ (\sin x)' = \cos x \quad (\cos x)' = -\sin x\end{gathered}\]Opérations
\[\begin{gathered}(uv)' = u'v + uv' \quad \left(\tfrac{u}{v}\right)' = \tfrac{u'v - uv'}{v^2} \\ (u\circ v)' = v'\cdot(u'\circ v)\end{gathered}\]Sens de variation & extrema
f ′ > 0 ⇒ croissante ; f ′ < 0 ⇒ décroissante. Un extremum local est là où f ′ s'annule en changeant de signe (max : + → − ; min : − → +).
Limites & continuité
Limite
limx→a f(x) = ℓ signifie que f(x) s'approche de ℓ quand x s'approche de a. En ±∞ on regarde le comportement asymptotique.
Formes indéterminées
\[\tfrac{0}{0} \,\cdot\, \tfrac{\infty}{\infty} \,\cdot\, \infty-\infty \,\cdot\, 0\times\infty \,\cdot\, 1^{\infty}\]On lève l'indétermination : factorisation, quantité conjuguée, croissances comparées (eˣ ≫ xⁿ ≫ ln x).
Théorèmes clés
- Gendarmes : si g ≤ f ≤ h et g, h → ℓ, alors f → ℓ.
- TVI : f continue sur [a,b] prend toute valeur entre f(a) et f(b).
Primitives usuelles
Une primitive F vérifie F ′ = f (définie à une constante C près).
\[\begin{gathered}\int x^n\,dx = \tfrac{x^{n+1}}{n+1} + C \;\;(n\neq -1) \\ \int \tfrac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C \qquad \int e^x\,dx = e^x + C \\ \int \sin x\,dx = -\cos x + C \qquad \int \cos x\,dx = \sin x + C \\ \int \tfrac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C\end{gathered}\]Par parties
\[\int u\,v' = u\,v - \int u'\,v\]Exponentielle & logarithme
exp et ln sont réciproques : ln(eˣ)=x, e^(ln x)=x (x>0).
Propriétés algébriques
\[\begin{gathered}e^{a+b} = e^a e^b \qquad e^{a-b} = \tfrac{e^a}{e^b} \\ \ln(ab) = \ln a + \ln b \qquad \ln\!\left(\tfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b \\ \ln(a^n) = n\ln a\end{gathered}\]Croissances comparées
\[\lim \tfrac{e^x}{x^n} = +\infty \qquad \lim \tfrac{\ln x}{x} = 0\]x² Équation du second degré
Pour ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0), le discriminant décide du nombre de racines :
\[\Delta = b^2 - 4ac\]- Δ > 0 : deux racines x = (−b ± √Δ)/(2a)
- Δ = 0 : une racine double x = −b/(2a)
- Δ < 0 : aucune racine réelle (deux complexes conjuguées)
Forme canonique & sommet
\[a(x-\alpha)^2 + \beta,\quad \alpha = \tfrac{-b}{2a},\quad \beta = \tfrac{-\Delta}{4a}\]Signe : du signe de a à l'extérieur des racines, opposé à l'intérieur.
Binôme de Newton
Développement d'une puissance d'une somme :
\[(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{\,n-k}b^{\,k}\]Coefficients binomiaux
\[\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\]Ils forment le triangle de Pascal : C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k). Propriété de symétrie : C(n,k) = C(n,n−k).
Suites numériques
Arithmétique (raison r)
\[u_n = u_0 + n\,r \qquad \textstyle\sum = \tfrac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}\]Géométrique (raison q)
\[u_n = u_0\,q^{\,n} \qquad \textstyle\sum = u_0\,\tfrac{1-q^{\,n+1}}{1-q}\]Si |q| < 1, la suite géométrique converge vers 0 ; la somme infinie vaut u₀/(1−q).
Récurrence
On montre P(0) (initialisation) puis P(n) ⇒ P(n+1) (hérédité).
Vecteurs
Norme
\[\lVert u\rVert = \sqrt{x_u^2 + y_u^2 + z_u^2}\]Produit scalaire
\[u\cdot v = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v = \lVert u\rVert\,\lVert v\rVert\cos\theta\]Deux vecteurs sont orthogonaux ssi u·v = 0.
Produit vectoriel (3D)
\[\lVert u\times v\rVert = \lVert u\rVert\,\lVert v\rVert\sin\theta = \text{aire du parallélogramme}\]Colinéarité (2D)
\[\det(u,v) = x_u y_v - y_u x_v = 0\]Trigonométrie
Cercle & relations
\[\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \qquad \tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\]Valeurs remarquables
\[\begin{array}{c|ccccc}\theta & 0 & \tfrac{\pi}{6} & \tfrac{\pi}{4} & \tfrac{\pi}{3} & \tfrac{\pi}{2} \\ \hline \sin & 0 & \tfrac12 & \tfrac{\sqrt2}{2} & \tfrac{\sqrt3}{2} & 1 \\ \cos & 1 & \tfrac{\sqrt3}{2} & \tfrac{\sqrt2}{2} & \tfrac12 & 0\end{array}\]Formules d'addition
\[\begin{gathered}\cos(a+b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b \\ \sin(a+b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b\end{gathered}\]PGCD & Bézout
Algorithme d'Euclide
pgcd(a, b) = pgcd(b, a mod b), jusqu'à un reste nul.
Identité de Bézout
Il existe des entiers u, v tels que :
\[a\,u + b\,v = \operatorname{pgcd}(a,b)\]Trouvés par l'algorithme d'Euclide étendu — base de l'inverse modulaire (crypto RSA). Rappel : pgcd × ppcm = |a·b|.
Congruences (modulo n)
a ≡ b [n] signifie que n divise (a − b).
Propriétés
\[a\equiv b \ \text{et}\ c\equiv d \;\Rightarrow\; a+c \equiv b+d \ \text{et}\ a\,c \equiv b\,d \ [n]\]Très utile pour les critères de divisibilité et les restes de puissances.
Petit théorème de Fermat
\[p\ \text{premier},\ p\nmid a \;\Rightarrow\; a^{\,p-1} \equiv 1 \ [p]\]Nombres premiers
Un entier > 1 est premier s'il n'a que 1 et lui-même comme diviseurs.
Théorème fondamental
Tout entier > 1 se décompose de façon unique en produit de facteurs premiers.
\[360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5\]Test
Il suffit de tester les diviseurs jusqu'à √n. Les premiers sont infinis (Euclide).
Loi binomiale B(n, p)
Nombre de succès sur n épreuves indépendantes de probabilité p :
\[P(X = k) = \binom{n}{k}p^{\,k}(1-p)^{\,n-k}\]Espérance & variance
\[E(X) = np \qquad V(X) = np(1-p)\]Loi de Poisson P(λ)
Modélise des événements rares sur une période (λ = nombre moyen) :
\[P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda}\,\lambda^{k}}{k!}\]Propriété
\[E(X) = V(X) = \lambda\]Approxime B(n,p) quand n grand et p petit (λ = n·p).
Conditionnelles & Bayes
\[P(A\mid B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\]Indépendance
A et B indépendants ⇔ P(A∩B) = P(A)·P(B).
Formule de Bayes
\[P(A\mid B) = \dfrac{P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)}\]Balistique (projectile)
Mouvement d'un projectile lancé à la vitesse v₀ sous un angle α (g ≈ 9,81 m/s²) :
\[\begin{aligned}x(t) &= v_0\cos(\alpha)\,t \\ y(t) &= v_0\sin(\alpha)\,t - \tfrac12 g\,t^2\end{aligned}\]Portée & flèche
\[\begin{aligned}\text{Portée} &= \tfrac{v_0^{2}\sin(2\alpha)}{g} \\ \text{Flèche} &= \tfrac{v_0^{2}\sin^2(\alpha)}{2g}\end{aligned}\]La portée est maximale pour α = 45°.
Décroissance radioactive
Le nombre de noyaux décroît exponentiellement (λ = constante de désintégration) :
\[N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}\]Demi-vie
\[t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}\]Au bout d'une demi-vie, il reste la moitié des noyaux ; base de la datation au carbone 14.
🖥️ Version Desktop — C/C++ (SDL2)
En plus du calculateur web, VertinGo propose une application native Windows écrite en C/C++ avec la bibliothèque graphique SDL2. Elle va plus loin : trajectoires balistiques animées, décroissance radioactive, loi de Poisson & statistiques, second degré, tangentes, tableaux de variation… le tout rendu en temps réel.
⬇️ Télécharger la version Desktop (Windows · SDL2)
Archive .zip (~18 Mo) · exécutable + ressources. Sources C/C++ SDL2 du projet VertinGo.
